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选择题
函数 $f(x) = \ln(x-1) + \frac{1}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域是（ ）
A. $(1, +\infty)$
B. $[2, +\infty)$
C. $(2, +\infty)$
D. $(1, 2)$
答案: C
对于 $\ln(x-1)$，需要 $x-1 > 0$，即 $x > 1$。
对于 $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$，需要 $x-2 > 0$，即 $x > 2$。
取交集得定义域为 $(2, +\infty)$。
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选择题
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x$ 是 $x$ 的（ ）
A. 等价无穷小
B. 高阶无穷小
C. 同阶但不等价无穷小
D. 低阶无穷小
答案: B
利用等价无穷小：$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$（当 $x \to 0$）。
计算极限：$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x} = 0$。
因为极限为0，所以 $1-\cos x$ 是 $x$ 的高阶无穷小。
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选择题
设 $f(x) = \begin{cases} x+a, & x \le 0 \\ \frac{\sin x}{x}, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a = $（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. 不存在
答案: B
左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+a) = a$。
右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$。
函数值：$f(0) = 0+a = a$。
连续要求左极限=右极限=函数值，所以 $a = 1$。
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选择题
函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处（ ）
A. 连续且可导
B. 不连续也不可导
C. 连续但不可导
D. 可导但不连续
答案: C
连续性：$\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$，故连续。
可导性：左导数 $\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|-0}{h} = -1$。
右导数 $\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|-0}{h} = 1$。
左右导数不相等，故不可导。
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选择题
若 $\int f(x)dx = e^{-x^2} + C$，则 $f(x) = $（ ）
A. $-2xe^{-x^2}$
B. $e^{-x^2}$
C. $-xe^{-x^2}$
D. $2xe^{-x^2}$
答案: A
根据微积分基本定理，$f(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x^2} + C)$。
$f(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$。
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选择题
设向量 $\vec{a}=(2, 1, 0)$，$\vec{b}=(0, 1, 1)$，则 $\vec{a} \times \vec{b} = $（ ）
A. $(1, -2, 2)$
B. $(1, 2, -2)$
C. $(1, -2, -2)$
D. $(2, 2, 2)$
答案: A
叉积公式：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$。
$= \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0)$。
$= \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k} = (1, -2, 2)$。
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选择题
二元函数 $z = \sin(x^2+y^2)$ 的全微分 $dz = $（ ）
A. $\cos(x^2+y^2)(dx+dy)$
B. $2x\cos(x^2+y^2)dx + 2y\cos(x^2+y^2)dy$
C. $2x\sin(x^2+y^2)dx + 2y\sin(x^2+y^2)dy$
D. $x\cos(x^2+y^2)dx + y\cos(x^2+y^2)dy$
答案: B
求偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x^2+y^2) \cdot 2x$。
$\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x^2+y^2) \cdot 2y$。
全微分 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = 2x\cos(x^2+y^2)dx + 2y\cos(x^2+y^2)dy$。
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选择题
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是（ ）
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 收敛性不确定
答案: B
这是交错级数，由莱布尼茨判别法，$\frac{1}{n}$ 单调递减趋于0，故级数收敛。
但绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数，发散。
因此原级数条件收敛。
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选择题
微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$ 的特征根为（ ）
A. $r_1=2, r_2=-2$
B. $r_1=r_2=2$
C. $r_1=r_2=-2$
D. $r_1=0, r_2=4$
答案: B
特征方程：$r^2 - 4r + 4 = 0$。
即 $(r-2)^2 = 0$。
解得 $r_1 = r_2 = 2$（重根）。
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选择题
曲线 $y = x^2 - 4x + 3$ 的凹凸性为（ ）
A. 全线凹的
B. 全线凸的
C. 在 $(-\infty, 2)$ 凸，$(2, +\infty)$ 凹
D. 在 $(-\infty, 2)$ 凹，$(2, +\infty)$ 凸
答案: A
求一阶导数：$y' = 2x - 4$。
求二阶导数：$y'' = 2$。
因为 $y'' = 2 > 0$ 对所有 $x$ 成立，所以曲线全线凹的（向上凹）。
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填空题
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+1}{2x^2-x} = $
答案: $\frac{3}{2}$
分子分母同除以 $x^2$：$\lim_{x \to \infty} \frac{3+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}}$。
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^2} \to 0$，$\frac{1}{x} \to 0$。
极限值为 $\frac{3}{2}$。
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填空题
设 $y = \sin(3x+1)$，则 $dy = $
答案: $3\cos(3x+1)dx$
$y' = \cos(3x+1) \cdot 3 = 3\cos(3x+1)$。
$dy = y'dx = 3\cos(3x+1)dx$。
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填空题
$\int \frac{1}{x \ln x} dx = $
答案: $\ln|\ln x|+C$
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$。
原式 $= \int \frac{1}{u}du = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C$。
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填空题
定积分 $\int_{-1}^1 (x^3 + \cos x) dx = $
答案: $2\sin 1$
分项积分：$\int_{-1}^1 x^3 dx + \int_{-1}^1 \cos x dx$。
$x^3$ 是奇函数，在对称区间积分值为0。
$\int_{-1}^1 \cos x dx = [\sin x]_{-1}^1 = \sin 1 - \sin(-1) = 2\sin 1$。
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填空题
设 $f(x) = e^{2x}$，则 $f^{(n)}(x) = $
答案: $2^n e^{2x}$
逐次求导找规律：
$f'(x) = 2e^{2x}$，$f''(x) = 2^2 e^{2x}$，$f'''(x) = 2^3 e^{2x}$。
归纳得 $f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$。
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填空题
向量 $\vec{a}=(1, -1, 2)$ 在向量 $\vec{b}=(2, 2, 1)$ 上的投影为
答案: $\frac{2}{3}$
投影公式：$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 + 2 = 2$。
$|\vec{b}| = \sqrt{4+4+1} = 3$。
投影为 $\frac{2}{3}$。
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填空题
平面 $2x-y+3z-5=0$ 的法向量为
答案: $(2,-1,3)$
平面一般式 $Ax+By+Cz+D=0$ 的法向量为 $(A,B,C)$。
所以法向量为 $(2, -1, 3)$。
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填空题
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径 $R = $
答案: $+\infty$（或 $\infty$）
使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$。
收敛半径 $R = \frac{1}{0} = +\infty$。
（注：此级数为 $e^x$ 的展开式）
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填空题
设 $z = x^2 y^3$，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = $
答案: $6xy^2$
先对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy^3$。
再对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2x \cdot 3y^2 = 6xy^2$。
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填空题
微分方程 $y' = y$ 满足 $y(0)=2$ 的特解为
答案: $2e^x$
分离变量：$\frac{dy}{y} = dx$。
积分：$\ln|y| = x + C_1$，即 $y = Ce^x$。
代入初值 $y(0)=2$：$2 = Ce^0 = C$。
特解为 $y = 2e^x$。
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填空题
极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2} = $
答案: $\frac{1}{2}$
使用洛必达法则（$\frac{0}{0}$型）：
第一次：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{2x}$（仍为$\frac{0}{0}$型）。
第二次：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$。
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填空题
函数 $y = x - \ln x$ 的极小值为
答案: $1$
定义域 $x > 0$。
求导：$y' = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$。
令 $y'=0$，得 $x=1$。
当 $0 < x < 1$ 时 $y' < 0$；当 $x > 1$ 时 $y' > 0$。
所以 $x=1$ 是极小值点，极小值为 $y(1) = 1 - \ln 1 = 1$。
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填空题
$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos^2 x dx = $
答案: $\frac{1}{3}$
令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$。
当 $x=0$ 时 $u=1$；当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$。
原式 $= -\int_1^0 u^2 du = \int_0^1 u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$。
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填空题
曲线 $y = \frac{1}{x}$ 与 $x=1, x=e, y=0$ 围成的面积为
答案: $1$
面积 $A = \int_1^e \frac{1}{x} dx$。
$= [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$。
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填空题
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n = $
答案: $0$
级数收敛的必要条件：若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
（注意：这是必要条件而非充分条件）